三峡大学2015年博士研究生招生《数值分析》考试大纲
一、考试性质
数值分析考试科目是为招收我校工科专业博士研究生而设置的。它的评价标准是高等学校工科各专业优秀硕士毕业生能达到的水平,以保证被录取者具有较好的数值分析理论与应用基础。考试对象为参加全国博士研究生入学考试的准考考生。
二、考试内容和要求：
第一章 数值计算中的误差
考核内容：误差与有效数字、误差分析、误差分析的一些基本原则。
考核要求：
1.了解误差来源以及舍入误差、截断误差的定义。
2.掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义及相互关系。
3.掌握函数计算的误差估计，理解误差分析的一些基本原则和数值稳定性概念。
第二章 解线性代数方程组的数值解法
考核内容：(1)用直接方法求线性方程组的解，它包括Gauss消元法和直接三角分解法;(2)用迭代法求解线性方程组。
考核要求：
1.理解Gauss消元法原理及实现条件，掌握用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解方程组的算法。
2.用直接三角分解法解Aⅹ=b
(1)掌握用Doolittle分解法求方程组Aⅹ=b的解，能直接用矩阵乘法进行的分解。
(2)为三对角阵时掌握追赶法计算公式。
(3)为对称正定时掌握用Cholesky分解法(即平方根法)解方程组。
3.掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。
4.掌握矩阵条件数定义，并能应用条件数估计解方程组直接法的误差。
5.迭代法及其收敛性
(1)理解向量序列及矩阵序列极限。
(2)掌握迭代法的构造和迭代法收敛的充分必要条件判断具体迭代法是否收敛。
(3)掌握用迭代矩阵范数判别迭代法收敛的充分条件及其证明。
6.Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代和SOR迭代法
(1)掌握每种方法的计算公式、矩阵表示式以及迭代矩阵表达式;对给定方程组Aⅹ=b能写出三种迭代法的计算公式及迭代矩阵，并能算出正确结果。
(2)熟练掌握各种迭代法收敛的充分必要条件及充分条件。对给定方程组判别Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法是否收敛。
(3)当严格对角占优和对称正定时掌握Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收敛性结论。
(4)掌握SOR迭代法收敛性条件。
第三章 非线性方程求根
考核内容：非线性方程求根的二分法、迭代法的一般理论、Newton迭代法。
考核要求：
1.了解如何确定方程的有根区间及用二分法求一个足够好的近似根。
2.熟练掌握不动点迭代法及其收敛性定理，能灵活应用不动点迭代法求方程的根，并判断迭代序列的收敛性。
3.掌握收敛阶的定义，能确定迭代法的收敛阶。掌握加速法的原理及算法。
4.熟练掌握Newton法与割线法求根及其局部收敛性与收敛阶定理。掌握Newton下山法，了解如何用Newton法求复根。
第四章 插值法
考核内容：拉格朗日(Lagrange)插值、牛顿(Newton)插值公式、Hermite (埃尔米特)插值、分段低次插值与样条插值。
考核要求：
1.掌握插值多项式的存在唯一性条件，并由此条件求插值多项式，并计算函数近似值及估计误差。
(1)熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握插值基函数及其性质。
(2)熟练掌握Newton均差插值多项式及均差定义，并能用均差表求Newton插值多项式。
(3)掌握等距节点的Newton前插与后插差分公式，利用差分定义及差分表构造Newton差分插值多项式并计算函数近似值。
2.掌握带导数的Hermite插值多项式的构造及其余项表达式。
3.分段低次插值与三次样条插值
(1)理解高次多项式插值不具有收敛性和稳定性的缺陷，掌握分段线性插值公式及其收敛性和分段二点三次Hermite插值。
(2)熟练掌握三次样条函数及三次样条插值多项式的条件(M-表达式和m-表达式不用背)。
第五章 曲线拟合、函数逼近
考核内容：曲线拟合的最小二乘法，超定方程组的最小二乘解。
考核要求：
1.掌握最小二乘原理作曲线拟合的方法及计算步骤，能正确算出线性模型及能转化为线性模型的最小二乘拟合曲线。
2.掌握求解超定方程组的最小二乘解。
3. 理解函数逼近、内积空间与正交多项式基本概念，掌握正交多项式的基本性质;
4. 掌握Chebshov正交多项式及其基本性质;
5. 掌握函数的最佳平方逼近逼近。
第六章 数值积分与数值微分
考核内容：数值求积与 Newton-Cotes (牛顿—柯特斯)求积公式。复合求积公式、Gauss型求积公式、Gauss型求积公式的稳定性与收敛性。
考核要求：
1.熟练掌握求积公式代数精确度的定义，能应用定义确定求积公式的系数和节点，并能判断一个求积公式的代数精确度。
2.理解插值求积公式原理和Newton-Cotes求积公式，掌握梯形公式和Simpson公式及其余项的表达式和代数精确度。
3.熟练掌握复合梯形公式和复合Simpson公式，能应用这些求积公式计算积分近似值并估计误差，还能根据误差要求确定求积分时积分区间的等分数。
4.了解Romberg求积方法。
5.理解Gauss型求积公式原理并能根据代数精确度推导两个节点的Gauss型求积公式。掌握Gauss-Legendre求积公式和Gauss-Chebyshe求积公式，并能用这些公式计算积分近似值并估计误差。
6.了解数值微分的插值型求导公式。
第七章 常微分方程数值解法
考核内容：简单的单步法及基本概念、显式Runge-Kutta法、线性多步法、预测校正方法。
考核要求：
1.熟练掌握Euler法、隐式Euler法、梯形法、改进Euler法的基本公式与构造，并能正确应用这些公式求微分方程数值解。
2.理解显式Runge-Kutta法(简称R-K法)的基本思想，掌握二阶Runge-Kutta法的推导，能应用二阶Runge-Kutta法及经典四阶R—K法求微分方程数值解，并能利用改变步长的方法估计误差。
3.单步法基本概念
(1)掌握单步法局部截断误差及阶的定义。
(2)掌握单步法收敛性定义及方法收敛性的结论。
(3)掌握单步法绝对稳定性和绝对稳定域的定义。能推导Euler法、隐式Euler法、梯形法和改进Euler法的绝对稳定域，了解显式R-K法的绝对稳定区间并能由此掌握它对步长h的限制。
4.线性多步法
(1)掌握线性多步法的一般表达式及局部截断误差和阶的定义，能熟练应用Taylor展开推导线性多步法公式及局部截断误差主项和确定公式的阶。
(2)能正确应用线性多步法公式，特别是四阶显式和隐式Adams公式求解微分方程。
(3)掌握预测校正技术，能应用四阶显式Adams公式预测、四阶隐式Adams公式校正等方法求微分方程数值解。
5.了解微分方程组的数值解法。
第八章 矩阵的特征值及特征向量的计算
考核内容：按模最大与最小特征值的求法、以及计算实对称矩阵特征值的雅可比法。
考核要求：
1.掌握计算矩阵特征值的迭代方法——幂法、反幂法。
2.掌握求一个实对称矩阵的全部特征值和特征向量的雅可比法。
3.了解求实矩阵的全部特征值的QR方法。
三、考试形式
(一) 答卷方式：闭卷，笔试;
(二) 答题时间：180分钟;
注意：本文归作者所有，未经作者允许，不得转载
